DERIVADA
En matemáticas, la derivada de una función es una
medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie
el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un
concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio
media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado
para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla
del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si
una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su
derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo
transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad
media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o
menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las
15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para
conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario
calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor
de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
El valor de la derivada de una función en un punto puede
interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su
vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho
punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de
más de una variable con la derivada parcial y el diferencial
La derivada de una función f en un punto x
se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x
es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada
por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación,
y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida
como cálculo.
RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO
Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de
una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q
es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo
Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo
·
El tamaño de una
población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
·
La cantidad de dinero en
una cuenta en un banco
·
El volumen de un globo
mientras se infla
·
La distancia t
recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje
El cambio en Q desde el tiempo t hasta el
tiempo t+"t, es el incremento
La Razón de Cambio Promedio de Q (por la
unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q
con respecto del cambio "t en t, por lo que es el
cociente
Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por
unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es
decir, la razón de cambio instantánea de Q es
Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así
vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada
La interpretación intuitiva de la razón de cambio
instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la
gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t,
el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en
el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria
recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia
a una razón constante.
También como conclusión tenemos que si la pendiente de la
recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa
ésta es descendente, así
Q es creciente en el instante t si
Q es decreciente en el instante t si
La derivada de cualquier
función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una
razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x),
entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x)
en el intervalo [x,x+"x] es el cociente
